Algebra lineare Esempi

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Dividi $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{1} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{1} & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.3

Dividi $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - \frac{1}{1} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 \cdot 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 & - 1 & \frac{3}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Passaggio 5

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} \end{array}]$